Mathématiques 1re année Pharmacie

Chapitre	L'essentiel	Python
1. Matrices	Types, somme, produit (non commutatif), puissances, binôme, transposée	`np.array, @, .T, matrix_power`
2. Déterminant & inverse	Propriétés, cofacteurs, développement, comatrice, A⁻¹	`linalg.det, inv` · `sp.Matrix.det()`
3. Systèmes linéaires	Substitution, Cramer, AX = B, interprétation géométrique	`linalg.solve` · `sp.linsolve`
4. Valeurs propres	AX = λX, polynôme caractéristique, matrices triangulaires	`linalg.eig` · `charpoly, eigenvals`
5. Fonctions	Limites, continuité, TVI, dérivées, Leibniz, variations	`sp.limit, sp.diff`, dichotomie
6. Équations différentielles	y' = ay, y' = a(x)y + b(x), variation de la constante	`sp.dsolve`, méthode d'Euler
7. Fonctions multivariables	Domaine, limites selon un chemin, ∂f/∂x, gradient, hessienne, extrema	`sp.hessian`, `sp.solve`
8. Développements limités	Taylor-Young, DL usuels, opérations, limites, tangente	`sp.series`

Vue d'ensemble

Carte du module

Deux branches qui se rejoignent : les valeurs propres réutilisent le déterminant, et la hessienne des fonctions multivariables est… une matrice. Clique sur un chapitre.

Chapitre 1 · Algèbre linéaire

Les matrices : définitions et opérations

Une matrice de taille n × p est un tableau de n lignes et p colonnes ; a_ij est le coefficient de la ligne i, colonne j. En pharmacie, une ligne = un patient, une colonne = une variable (dose, âge…).

Matrice	Définition
Carrée	n = p ; ses a_ii forment la diagonale principale
Ligne / colonne	1 seule ligne (vecteur ligne) / 1 seule colonne (vecteur colonne)
Nulle 0_n,p	Tous les coefficients sont 0 (joue le rôle du 0 : A + 0 = A)
Identité I_n	Carrée, 1 sur la diagonale, 0 ailleurs (A·I = I·A = A)
Triangulaire supérieure	a_ij = 0 dès que i > j (zéros sous la diagonale)
Triangulaire inférieure	a_ij = 0 dès que i < j (zéros au-dessus)
Diagonale	Seule la diagonale est non nulle
Symétrique / antisymétrique	Aᵀ = A / Aᵀ = −A (diagonale nulle)

Masque les réponses ; clique sur une case pour la révéler.

Somme et scalaire

A + B : même taille, on additionne case par case. λA : chaque coefficient multiplié par λ.

Produit AB

A (n × p) · B (p × q) = matrice n × q. Le coefficient (i, j) = ligne i de A · colonne j de B = Σ_k a_ikb_kj. En général AB ≠ BA.

Puissances

A⁰ = I, A^p+1 = A^p·A. Pour une matrice diagonale : on élève chaque terme diagonal à la puissance p.

Binôme

(A + B)² = A² + AB + BA + B². La formule (A+B)^p = Σ C(p,k) A^p−kB^k n'est valable que si AB = BA.

Visualiser le produit A (2×3) · B (3×2) — clique sur une case du résultat.

A·B

Chapitre 2

Déterminant et matrice inverse

Le déterminant est un nombre associé à une matrice carrée. Il dit si la matrice est inversible (det ≠ 0) et mesure un « volume » : |det| = aire (2D) ou volume (3D) construit sur les colonnes.

det [[a, b], [c, d]] = ad − bc Mineur A_ij : on efface la ligne i et la colonne j Cofacteur C_ij = (−1)^(i+j) · det A_ij det A = Σ_j a_ij C_ij (développement selon n'importe quelle ligne i, ou colonne) A⁻¹ = (1/det A) · ᵗcom(A) ᵗcom(A) = adj(A) = transposée de la matrice des cofacteurs

Opération sur A	Effet sur det
Multiplier une ligne (ou colonne) par λ	det × λ (et det(λA) = λⁿ det A pour une matrice n × n)
Échanger deux lignes (ou colonnes)	det change de signe
Ajouter à une ligne un multiple d'une autre	Inchangé
Deux lignes égales ou proportionnelles	det = 0
Matrice triangulaire ou diagonale	Produit des termes diagonaux
det(AB), det(Aᵀ), det(A⁻¹)	det A · det B ; det A ; 1/det A

Calculateur 3×3 : développement selon la 1re ligne, cofacteurs, inverse

Astuce de calcul : développe selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros, et respecte le damier des signes + − + / − + − / + − +. Pour une 3×3, la règle de Sarrus marche aussi (mais pas au-delà de 3×3).

Chapitre 3

Calcul matriciel : systèmes linéaires

Problème du cours : une pharmacie vend le médicament P à 150 DH et Q à 250 DH ; 20 boîtes vendues pour 4000 DH. On pose p + q = 20 et 150p + 250q = 4000 → p = q = 10. Un système, c'est des conditions à satisfaire simultanément.

1 solution

Droites sécantes (2D) ; det ≠ 0. On dit que le système est de Cramer.

Aucune solution

Droites (ou plans) parallèles distinctes : équations incompatibles.

Infinité

Droites confondues, ou deux plans qui se coupent selon une droite : on exprime les solutions avec un paramètre.

Deux droites dans le plan : ax + by = e et cx + dy = f

a b e c d f

Substitution : isoler une inconnue dans une équation, la remplacer dans les autres. Simple pour 2 ou 3 inconnues.

Cramer (si det A ≠ 0) : x_j = det A_j / det A, où A_j = A dont la colonne j est remplacée par le second membre B.

Écriture matricielle AX = B : si A est inversible, X = A⁻¹B ; sinon le système a 0 ou une infinité de solutions.

Gauss : opérations sur les lignes (échange, Lᵢ ← Lᵢ + λLⱼ) jusqu'à une forme triangulaire, puis remontée.

⚠ Problème d'introduction « Antibio A / Antibio B »

6 comprimés et 1000 mg avec des comprimés de 250 mg et de 100 mg : la résolution donne a = 8/3 et b = 10/3. Ce ne sont pas des entiers : impossible avec des comprimés entiers (5 A + 1 B donnerait 1350 mg ; 2 A + 4 B donnerait 900 mg). Le système a bien une solution mathématique, mais elle n'a pas de sens pratique. Il faut toujours vérifier que la solution est réaliste (entière, positive…).

Chapitre 4

Valeurs propres, vecteurs propres

λ est une valeur propre de A s'il existe un vecteur non nul X tel que AX = λX : A ne fait qu'étirer X (par le facteur λ), sans changer sa direction. X est un vecteur propre associé.

λ valeur propre de A ⇔ det(A − λI) = 0 ⇔ χ_A(λ) = 0 χ_A(X) = det(A − X·I_n) polynôme caractéristique (degré n) Pour une 2×2 : χ(X) = X² − tr(A)·X + det(A) (somme des λ = trace, produit = det)

Méthode

Calculer χ_A(X) = det(A − XI).
Ses racines sont les valeurs propres.
Pour chaque λ, résoudre (A − λI)X = 0 → vecteurs propres.

Cas faciles

Matrice triangulaire ou diagonale : les valeurs propres sont les termes diagonaux.
I_n : seule valeur propre 1 (tout vecteur non nul est propre). 0_n : seule valeur propre 0.
Des vecteurs propres associés à des λ distinctes sont linéairement indépendants.

Que fait une matrice 2×2 au cercle unité ? Les vecteurs propres (en couleur) restent sur leur droite.

a b c d

Chapitre 5 · Analyse

Fonctions continues et dérivables

Limite

lim_x→x₀ f(x) = ℓ : f(x) devient aussi proche de ℓ qu'on veut dès que x est assez proche de x₀ (∀ε > 0, ∃δ > 0, |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − ℓ| < ε).

Gendarmes : si f ≤ g ≤ h et f, h → ℓ, alors g → ℓ.

Continuité

f est continue en x₀ si lim_x→x₀ f(x) = f(x₀). Sommes, produits, quotients (dénominateur ≠ 0) et composées de fonctions continues sont continues.

Prolongement : si f n'est pas définie en x₀ mais a une limite finie ℓ, on pose f(x₀) = ℓ.

TVI

Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a, b] et f(a), f(b) sont de signes contraires, il existe c ∈ ]a, b[ avec f(c) = 0. C'est la base de la dichotomie.

Dérivée

f'(x₀) = lim_h→0 [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h = pente de la tangente : y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀). Dérivable ⇒ continue (la réciproque est fausse : |x| en 0, √x en 0).

f	f'	f	f'
xⁿ	n xⁿ⁻¹	u·v	u'v + uv'
1/x	−1/x²	u/v	(u'v − uv') / v²
√x	1 / (2√x)	g∘f	g'(f(x)) · f'(x)
eˣ	eˣ	e^u	u' e^u
ln x	1/x	ln u	u'/u
sin x / cos x	cos x / −sin x	tan x	1 + tan²x = 1/cos²x
arctan x	1/(1 + x²)	f⁻¹	1 / f'(f⁻¹(x))

Leibniz : (f·g)⁽ⁿ⁾ = Σ_k=0..n C(n,k) · f⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ · g⁽ᵏ⁾ Variations : f' ≥ 0 sur ]a,b[ ⇔ f croissante ; f' > 0 ⇒ strictement croissante ; f' = 0 ⇔ constante

Tangente et nombre dérivé

x₀

ftangente en x₀sécante (x₀, x₀ + h)

Arctan : la dérivée de arctan x + arctan(1/x) est 0 → la fonction est constante sur chaque intervalle : π/2 sur ]0, +∞[ et −π/2 sur ]−∞, 0[.

Chapitre 6

Équations différentielles du premier ordre

L'inconnue est une fonction y(x), et l'équation relie y à ses dérivées. En pharmacocinétique, l'élimination d'ordre 1 s'écrit C'(t) = −k·C(t) : la vitesse d'élimination est proportionnelle à la concentration.

Équation	Solutions
y' = a y (a constante)	y(x) = k e^ax, k ∈ ℝ
y' = a(x) y	y(x) = k e^A(x) où A est une primitive de a
y' = a(x) y + b(x)	y = y₀ + k e^A(x) : solution particulière + solution générale de l'équation homogène

Homogène : résoudre y' = a(x)y → y_h = k e^A(x).

Variation de la constante : chercher y₀ = k(x) e^A(x). En remplaçant : k'(x) e^A(x) = b(x), donc k(x) = ∫ b(x) e^−A(x) dx.

Solution générale : y = y₀ + k e^A(x). Une condition initiale y(x₀) = y₀ fixe k (théorème de Cauchy-Lipschitz : une seule solution).

Exemple du cours : y' + y = eˣ + 1. Homogène : y = k e^−x. Variation : k'(x) = e^2x + eˣ, d'où k(x) = ½e^2x + eˣ et y₀ = ½eˣ + 1. Donc y = ½eˣ + 1 + k e^−x.

Pharmacocinétique : perfusion + élimination — C'(t) = −k·C + R (R = débit de perfusion / volume)

k (h⁻¹)

R (mg/L/h)

C(0) (mg/L)

pas d'Euler h

solution exacte C(t) = R/k + (C₀ − R/k)e^−ktméthode d'Eulerplateau R/k

Chapitre 7

Fonctions de plusieurs variables

En pharmacie, une concentration dépend du temps, de la dose, du poids, du métabolisme… : C(t, d, m, k). L'effet d'un médicament peut s'écrire E(d, w) (dose d, poids w), avec Emax = effet maximal et EC50 = dose donnant 50 % de Emax.

Domaine

√(x² + y²) : tout ℝ²
1/(x² − y) : x² ≠ y (hors de la parabole)
ln(x² + y²) : x² + y² > 0, soit (x, y) ≠ (0, 0)

Limite en un point

La limite doit être la même par tous les chemins. Si deux chemins donnent deux valeurs différentes, la limite n'existe pas.

f(x, y) = (x² − y²)/(x² + y²) : approcher (0, 0) le long de la droite y = m·x

⚠ Erreur dans le cours (chapitre 7)

Le long de y = mx, la limite vaut (1 − m²)/(1 + m²). Le cours écrit « si m = −1, la limite est −1/2 » : c'est faux, (1 − 1)/(1 + 1) = 0 (comme pour m = 1). La conclusion reste vraie (m = 0 donne 1, m = 1 donne 0 : la limite n'existe pas). Pour obtenir −1/2, il faut m = ±√3.

∂f/∂x : on dérive par rapport à x en traitant y comme une constante Gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) point critique : ∇f = 0 Hessienne H = [[f_xx, f_xy], [f_yx, f_yy]] symétrique (Schwarz : f_xy = f_yx)

Au point critique	Conclusion
det H > 0 et f_xx > 0	Minimum local (H définie positive)
det H > 0 et f_xx < 0	Maximum local (H définie négative)
det H < 0	Point selle (valeurs propres de signes opposés)
det H = 0	On ne peut pas conclure avec la hessienne

⚠ Oubli du cours

Les critères ne s'appliquent qu'en un point critique (∇f = 0), qu'il faut chercher d'abord ; et le cas det H = 0 (aucune conclusion possible) n'est pas mentionné.

Chapitre 8

Développements limités

Un DL à l'ordre n en a approche f par un polynôme de degré n : f(x) = P_n(x) + o((x − a)ⁿ). Plus n est grand, meilleure est l'approximation près de a.

Taylor-Young : f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)/2! (x−a)² + … + f⁽ⁿ⁾(a)/n! (x−a)ⁿ + o((x−a)ⁿ)

Au voisinage de 0	DL
eˣ	1 + x + x²/2! + x³/3! + … + xⁿ/n! + o(xⁿ)
sin x	x − x³/3! + x⁵/5! − … (puissances impaires)
cos x	1 − x²/2! + x⁴/4! − … (puissances paires)
ln(1 + x)	x − x²/2 + x³/3 − … + (−1)ⁿ⁺¹ xⁿ/n
1/(1 − x)	1 + x + x² + … + xⁿ
(1 + x)^α	1 + αx + α(α−1)/2! x² + …
√(1 + x)	1 + x/2 − x²/8 + x³/16 − 5x⁴/128 + …

Le polynôme de Taylor qui « colle » à la fonction

ordre n

fpolynôme de Taylor d'ordre n en 0

Calcul de limite

(sin x − x)/x³ = (−x³/6 + o(x³))/x³ → −1/6.

Position / tangente

eˣ − (1 + x) = x²/2 + o(x²) > 0 : la courbe est au-dessus de sa tangente en 0.

Extremum ?

x³ cos x = x³ − x⁵/2 + … : le terme dominant x³ est impair → change de signe → ni max ni min en 0.

Opérations

Somme : on additionne les DL. Produit : on multiplie et on tronque à l'ordre voulu : ln(1+x)·sin x = x² − x³/2 + o(x³).

⚠ Erreur de calcul dans le cours (chapitre 8)

Approximation de √1,01 : le cours écrit 1 + 0,005 − 0,000125 = 1,004875. Or x²/8 = 0,0001/8 = 0,0000125, donc √1,01 ≈ 1 + 0,005 − 0,0000125 = 1,0049875 (valeur exacte 1,00498756…). De plus, le titre parle d'un « DL à l'ordre 2 » alors que la formule écrite va jusqu'à l'ordre 4.

Entraînement

TD et TP corrigés

Fais d'abord l'exercice à la main (c'est ce qui est évalué), puis vérifie avec le bloc Python.

TD 1 matrices · somme, produit, transposée, rang TD1

Ex. 1 : A (1×3) et B (3×3) → A + B impossible (tailles différentes) ; AB possible (1×3)·(3×3) → 1×3. Règle : la somme exige la même taille ; le produit A(m×n)·B(n×p) exige colonnes de A = lignes de B.

Ex. 2 : Xᵀ (2×3) : chaque ligne = une enzyme, chaque colonne = un patient.

Ex. 3 : XᵀX (3×3) = sommes des produits entre biomarqueurs (diagonale = Σ des carrés) → co-variation des biomarqueurs. XXᵀ (4×4) = similarité entre patients : les patients 1, 2 et 4 ont exactement le même profil (14 partout).

Ex. 4-7 : rang(M) = 2 (ligne 2 = 2×ligne 1 : biomarqueur redondant) ; rang(A) = 1 (mesure répétée, pas d'information nouvelle) ; rang(B) = 2 (L3 = L1 + 2×L2) puis 3 avec la ligne (6, 8, 9) ; rang(C) = 1 (toutes les lignes sont proportionnelles : colonnes dépendantes).

TD 2 · Trace, matrices symétriques / antisymétriques TD2

Ex. 1 : Tr(C) = 2 + 3 = 5 ; C² = [[4, 5], [0, 9]] → Tr(C²) = 13 ; Tr(AB) = Tr(BA) = 1.

Ex. 2 : Sᵀ = S ✔ ; Aᵀ = −A ✔ (diagonale nulle). S + A et S − A ne sont ni symétriques ni antisymétriques (et (S+A)ᵀ = S − A).

Ex. 3 : (M + Mᵀ)/2 est symétrique car sa transposée donne (Mᵀ + M)/2 ; (M − Mᵀ)/2 est antisymétrique. Pour M = [[1, 3], [−1, 4]] : S = [[1, 1], [1, 4]], A = [[0, 2], [−2, 0]].

Ex. 4 : AAᵀ = [[21, 2], [2, 34]] (2×2) ; AᵀA = [[1, 4, −2], [4, 25, 7], [−2, 7, 29]] (3×3) — les deux sont symétriques.

TD 3 · Déterminants, mineurs, cofacteurs TD3

Exercice	Résultat	À retenir
1	det B = 1×4 − 2×3 = −2 ; après échange des lignes : +2	Échanger deux lignes change le signe
2	det = 0	L3 − L2 = L2 − L1 : lignes liées → matrice non inversible
3	det [[3, 1], [2, 4]] = 10	\|det\| = aire du parallélogramme construit sur u et v
4	det M = −4	\|det\| = 4 = volume du parallélépipède ; ≠ 0 → vecteurs indépendants
5	det B = 1 → ×3 ligne : 3 ; échange : −1 ; L3 + 2L1 : 1	Multiplier une ligne par k multiplie det par k ; ajouter un multiple d'une ligne ne change rien
6-8	M₁₁ = 13, M₂₃ = 10, M₃₂ = −8 ; C₁₁ = 13, C₂₃ = −10, C₃₂ = 8	Cofacteurs : [[13, −12, 20], [−4, 6, −10], [−7, 8, −10]], det A = 10
9	Cofacteurs de C : [[8, −1, −6], [4, 8, −3], [−1, −2, 5]], det = 17	Comatrice = transposée : [[8, 4, −1], [−1, 8, −2], [−6, −3, 5]]
10	C₁₁ = 28, C₂₂ = 14, C₃₃ = 8, C₁₂ = 0, C₂₃ = 0	Matrice triangulaire : det = produit de la diagonale = 56
11	C₁₂ = 5, C₂₁ = 0, C₂₃ = 0, C₃₂ = −2, det E = −9	Développer selon la ligne/colonne qui contient le plus de zéros (ici la colonne 2)

TD 4 (bis) · Matrices 4×4 : inverse par comatrice et par Gauss-Jordan TD4

Ex. 1 : det B = 10 ; cofacteurs de la 1re ligne : −3, −1, −1, 5 (vérifie : 2(−3) + 1(−1) + 3(−1) + 4(5) = 10 ✔). Ex. 2 : det C = −21 ≠ 0, donc C est inversible. Ex. 3 : mineur (L1, L3 ; C2, C4) = 1 ; mineur (L1, L2, L4 ; C1, C2, C3) = −12 ; mineur principal d'ordre 3 = 30.

import numpy as np
from fractions import Fraction as F

def gauss_jordan(M):
    n = len(M)
    A = [[F(x) for x in ligne] + [F(int(i == j)) for j in range(n)] for i, ligne in enumerate(M)]
    for c in range(n):
        p = next(r for r in range(c, n) if A[r][c] != 0)    # pivot non nul
        A[c], A[p] = A[p], A[c]
        piv = A[c][c]
        A[c] = [x / piv for x in A[c]]                     # pivot → 1
        for r in range(n):
            if r != c and A[r][c] != 0:
                k = A[r][c]
                A[r] = [a - k * b for a, b in zip(A[r], A[c])]
    return [ligne[n:] for ligne in A]

C = [[1, 2, 0, 1], [3, 1, 2, 0], [0, 4, 1, 2], [2, 0, 3, 1]]
inv = gauss_jordan(C)
for ligne in inv: print([str(x) for x in ligne])
print("C · C⁻¹ =\n", np.array(C) @ np.array(inv, dtype=float).round(12))
B = np.array([[2, 1, 3, 4], [1, 0, 2, 1], [4, 2, 1, 3], [3, 1, 0, 2]])
print("det B =", round(np.linalg.det(B)), "\nB⁻¹ =\n", np.linalg.inv(B).round(3))
A = np.array([[1, 2, 0, -1], [3, 0, 2, 4], [5, 1, -2, 0], [0, 3, 1, 2]])
print(round(np.linalg.det(A[np.ix_([0, 2], [1, 3])])), round(np.linalg.det(A[np.ix_([0, 1, 3], [0, 1, 2])])), round(np.linalg.det(A[:3, :3])))

TD 5 · Équilibrer une réaction chimique avec un système linéaire TD5

Idée : on cherche les coefficients x₁…xₙ. Pour chaque élément (Ca, C, O, H, Cl…), le nombre d'atomes à gauche = à droite → une équation linéaire homogène. Ex. CaCO₃ + HCl → CaCl₂ + H₂O + CO₂ : Ca : x₁ = x₃ ; C : x₁ = x₅ ; O : 3x₁ = x₄ + 2x₅ ; H : x₂ = 2x₄ ; Cl : x₂ = 2x₃. En fixant x₁ = 1 : CaCO₃ + 2 HCl → CaCl₂ + H₂O + CO₂.

import re
from fractions import Fraction as F
from math import lcm

def atomes(formule):
    d = {}
    for el, n in re.findall(r"([A-Z][a-z]?)(\d*)", formule):
        d[el] = d.get(el, 0) + int(n or 1)
    return d

def equilibrer(reactifs, produits):
    especes = reactifs + produits
    elements = sorted({e for f in especes for e in atomes(f)})
    # une ligne par élément ; réactifs comptés +, produits comptés −
    M = [[F(atomes(f).get(e, 0) * (1 if k < len(reactifs) else -1)) for k, f in enumerate(especes)] for e in elements]
    n = len(especes)
    # on fixe le dernier coefficient à 1 → système M' x = b
    A = [row[:-1] + [-row[-1]] for row in M]
    piv_cols, r = [], 0
    for c in range(n - 1):
        p = next((i for i in range(r, len(A)) if A[i][c] != 0), None)
        if p is None: continue
        A[r], A[p] = A[p], A[r]
        A[r] = [x / A[r][c] for x in A[r]]
        for i in range(len(A)):
            if i != r and A[i][c] != 0:
                A[i] = [a - A[i][c] * b for a, b in zip(A[i], A[r])]
        piv_cols.append(c); r += 1
    x = [F(0)] * (n - 1) + [F(1)]
    for i, c in enumerate(piv_cols): x[c] = A[i][-1]
    m = lcm(*[v.denominator for v in x])
    coefs = [int(v * m) for v in x]
    fmt = lambda fs, cs: " + ".join((f"{c} " if c != 1 else "") + f for f, c in zip(fs, cs))
    return fmt(reactifs, coefs[:len(reactifs)]) + " → " + fmt(produits, coefs[len(reactifs):])

print(equilibrer(["CaCO3", "HCl"], ["CaCl2", "H2O", "CO2"]))
print(equilibrer(["C2H6", "O2"], ["CO2", "H2O"]))
print(equilibrer(["KMnO4", "HCl"], ["KCl", "MnCl2", "H2O", "Cl2"]))
print(equilibrer(["NaOH", "H2SO4"], ["Na2SO4", "H2O"]))

TD Série 6 (TD 6) · Dosages et mélanges : systèmes linéaires TD6

Méthode : une inconnue par solution (ou médicament), une équation par substance. Les colonnes de la matrice sont les solutions, les lignes les substances : np.linalg.solve(A, cible).

⚠ Ce que révèle le calcul

Ex. 1 : 3,2 ml de solution 1 et 3,6 ml de solution 2 ✔.
Ex. 2 : la solution mathématique donne C = −0,31 L : impossible de verser un volume négatif. Avec ces trois solutions, les cibles 23/16/19 mmol ne sont pas atteignables (et additionner des mmol/L × L donne des mmol, pas des mmol/L : l'énoncé mélange quantité et concentration).
Ex. 3 : solution négative aussi (x₁ = −0,72 ; x₂ = −2,6) → prescription irréalisable avec ces médicaments. De plus l'énoncé donne des « mg par médicament » et demande des « ml » : il faut comprendre « mg/ml ».
Ex. 4 : solution positive (≈ 2,03 ; 4,28 ; 1,10), cohérente.

Moralité : toujours vérifier le sens physique d'une solution calculée.

TP2 / TP3 · Manipuler une matrice NumPy TP2-3

import numpy as np
A = np.array([[5, 3, 1, 6], [0, -2, 4, 0], [7, 6, 8, -7]])
print(A, "\ndimension :", A.shape, "| lignes :", A.shape[0], "| colonnes :", A.shape[1])
for i, ligne in enumerate(A):   print("ligne", i, ":", ligne)
for j in range(A.shape[1]):     print("colonne", j, ":", A[:, j])
print("1re ligne, 2e colonne :", A[0, 1], "| 2e ligne, 3e colonne :", A[1, 2])
A[A == -2] = 9
print(A)
print(np.where(A > 5, "Grand", "Petit"))

M = np.arange(1, 17).reshape(4, 4)
print(M.T, "\nsymétrique ?", np.array_equal(M, M.T))
X, Y = np.array([[1, 2], [3, 4]]), np.array([[0, 1], [1, 0]])
print(X + Y)
P, Q = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]), np.array([[1, 0], [0, 1], [2, 2]])
print("A(2x3) @ B(3x2) =\n", P @ Q)

def mineur(m, i, j): return round(np.linalg.det(np.delete(np.delete(m, i, 0), j, 1)), 6)
def cofacteur(m, i, j): return (-1) ** (i + j) * mineur(m, i, j)
B = np.array([[2, 1, 3, 4], [1, 0, 2, 1], [4, 2, 1, 3], [3, 1, 0, 2]])
print("Mineur A12 (on retire la 1re ligne et la 2e colonne) :", mineur(B, 0, 1))
print("Indices Python : C22 =", cofacteur(B, 2, 2), "C31 =", cofacteur(B, 3, 1), "C30 =", cofacteur(B, 3, 0))

TD 4 · Déterminant, cofacteurs, adjointe, rang TD 4

Ex. 1 : det A = 2×4 − 3×1 = 5 ≠ 0 → A est inversible, A⁻¹ = (1/5)·[[4, −3], [−1, 2]].

Ex. 2 : mineur M₂₃ = det[[1, 2], [1, 0]] = −2 ; cofacteur C₂₃ = (−1)⁵ × (−2) = 2. Selon la 2e ligne : det M = 0·C₂₁ + 4·C₂₂ + 5·C₂₃ = 4×3 + 5×2 = 22. M⁻¹ = (1/22)·[[24, −12, −2], [5, 3, −5], [−4, 2, 4]].

Ex. 3 : cofacteurs de E = [[1, −1, −1], [−1, 0, 2], [−1, 2, −1]] (matrice symétrique, donc adj(E) identique) ; det E = −1 → E⁻¹ = −adj(E) = [[−1, 1, 1], [1, 0, −2], [1, −2, 1]].

Ex. 4 : L2 = 2·L1 → det A = 0, donc rang < 3 ; le mineur [[1, 2], [3, 5]] (lignes 1 et 3, colonnes 1 et 2) = 5 − 6 = −1 ≠ 0 → rang 2. Les lignes (et les colonnes) sont liées.

Chap. 4 · Exercices sur les valeurs propres Chap. 4

Pour montrer que X est vecteur propre, on calcule AX et on vérifie que c'est un multiple de X ; le coefficient est la valeur propre. Pour montrer que λ est valeur propre : det(A − λI) = 0.

Les matrices des exercices 1 et 4 sont très petites sur le scan : remplace les coefficients dans le bloc et utilise tester_vecteur pour vérifier tes réponses.

Chap. 5 · Limites, dérivées successives Chap. 5

Question	Réponse	Méthode
(2x² − x − 2)/(3x² + 2x + 2) en 0 ; en +∞	−1 ; 2/3	Remplacer ; rapport des termes de plus haut degré
sin(1/x) en +∞ ; cos x/√x en +∞	0 ; 0	1/x → 0 et sin continue ; gendarmes : \|cos x/√x\| ≤ 1/√x
(√(1+x) − √(1+x²))/x en 0	1/2	Multiplier par la quantité conjuguée
(x² − 4)/(x² − 3x + 2) en 2	4	Factoriser : (x+2)(x−2)/((x−1)(x−2)) = (x+2)/(x−1)
Dérivées n-ièmes de ln(1 + x)	(−1)ⁿ⁻¹ (n−1)! / (1+x)ⁿ	Calculer f', f'', f''' et repérer la forme
(eˣ(x² + 1))⁽ⁿ⁾	eˣ (x² + 2n x + n² − n + 1)	Leibniz : seuls k = 0, 1, 2 donnent des termes non nuls

TD Mathématiques 9 · Limites, continuité, dérivabilité, Leibniz TD 9

Ex. 1 : (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 → 4 ; √x·ln(1 + x) → 0 en 0⁺ ; (tan x − x)/x³ → 1/3 (DL : tan x = x + x³/3 + o(x³)).

Ex. 2 : sin(3x)/x = 3·sin(3x)/(3x) → 3 : on prolonge par continuité en posant f(0) = 3.

Ex. 3 : f(x) = x³ + x − 1 est continue, f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0 → par le TVI, ∃ c ∈ ]0, 1[ avec f(c) = 0 (c ≈ 0,6823 ; f est strictement croissante, donc c est unique).

Ex. 4 : |x − 1| : taux d'accroissement → −1 à gauche, +1 à droite : non dérivable en 1 (point anguleux), mais continue.

Ex. 5 : continuité en 1 : 1² = a + 1 − a = 1, vraie pour tout a. Dérivabilité : dérivée à gauche 2x → 2, à droite a → a = 2.

Ex. 6 : cos x − x est continue (somme de fonctions continues), f(0) = 1 > 0, f(π/2) = −π/2 < 0 → TVI : ∃ c (≈ 0,739).

Ex. 7 : Leibniz avec f = x² (f' = 2x, f'' = 2, f''' = 0) et g = eˣ : h⁽³⁾ = x²eˣ + 3·2x·eˣ + 3·2·eˣ = eˣ(x² + 6x + 6).

Ex. 8 : f = x², g = ln x : h'' = 2 ln x + 2·2x·(1/x) + x²·(−1/x²) = 2 ln x + 3.

Python Programming with Matrices (part 1 et 2) · tâches pratiques Python

Le cours manipule d'abord les matrices comme des listes de listes (boucles for/while sur les indices), puis avec NumPy. Les deux approches sont à connaître.

Ce bloc tire une matrice au hasard (graine fixée à 1, donc toujours la même) : change la graine pour t'entraîner sur d'autres matrices.

Brouillon

Console libre

Teste tes propres calculs : import sympy as sp pour le calcul exact, import numpy as np pour le numérique.

Ne pas tomber dedans

Pièges classiques

AB ≠ BA en général : (A + B)² ≠ A² + 2AB + B², et la formule du binôme exige que A et B commutent.

Le produit AB n'existe que si (colonnes de A) = (lignes de B). La somme exige la même taille.

det(A + B) ≠ det A + det B, et det(λA) = λⁿ det A (pas λ det A) pour une matrice n × n.

Signes des cofacteurs : (−1)^(i+j) ; oublier le damier + − + est l'erreur la plus fréquente.

Comatrice : ne pas oublier de transposer avant de diviser par det A.

det A = 0 ⇒ pas d'inverse et pas de Cramer : le système a 0 ou une infinité de solutions.

Un vecteur propre est non nul par définition ; la valeur propre, elle, peut être 0 (⇔ A non inversible).

Limite à deux variables : trouver la même valeur sur deux chemins ne prouve pas l'existence ; deux valeurs différentes prouvent la non-existence.

Continue n'implique pas dérivable : |x − 1| en 1, √x en 0.

Équation différentielle : solution générale = particulière + homogène (ne pas oublier le k e^{A(x)}).

DL d'un produit : tronquer à l'ordre demandé, et développer chaque facteur à un ordre suffisant.

Python : A * B (NumPy) est case par case, le produit matriciel est A @ B ; np.linalg.det donne un float approché (9.9999999 au lieu de 10) : SymPy donne la valeur exacte.

Mémorisation

Flashcards

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Auto-évaluation

Quiz (30 questions)

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Méthode

Plan de révision en 4 étapes

1 · Calcul matriciel

Chapitres 1-2 : produit, puissances, déterminant 3×3 par cofacteurs, inverse par la comatrice. Refais TD 2, 3 et 4 à la main.

2 · Systèmes + valeurs propres

Chapitres 3-4 : Cramer, interprétation géométrique, polynôme caractéristique. TD 6 (Série 6) et exercices du chapitre 4.

3 · Analyse

Chapitres 5, 6, 8 : tableau des dérivées et des DL usuels en mode auto-test, Leibniz, variation de la constante. TD 9.

4 · Multivariables + bilan

Chapitre 7 : gradient, hessienne, nature des points critiques. Finis par le quiz et les flashcards.